Neste artigo você aprenderá a determinar a quantidade de divisores que um número possui e como encontrar cada um deles, utilizando fatoração e o princípio da análise combinatória.
Como ponto de partida, usaremos o Teorema Fundamental da Aritmética que afirma:
Todo número inteiro positivo maior que 1 pode ser expresso de forma única como um produto de números primos.
Dado um número $N$, queremos determinar quantos divisores positivos esse número possui, ou seja, queremos contar quantos números naturais $d$ satisfazem:
$$ d\ | \ N $$A princípio, podemos listar todos seus divisores um a um e contá-los. Esse método é uma forma de resolver o problema e pode ser relativamente fácil para números pequenos com poucos divisores, mas além de não ser uma forma elegante, para números maiores se torna inviável.
Veremos neste artigo que não é necessário contar os divisores, basta analisarmos a estrutura da fatoração em números primos de $N$.
Seja $N$ o número que queremos analisar. Assim, podemos expressá-lo como:
$$N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}
$$
onde:
- $p_1$, $p_2$, $\ldots$, $p_k$ são os fatores primos distintos de $N$
- $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_k$ são os expoentes inteiros positivos desses fatores
Para que um número $d$ seja divisor de $N$, ele precisa ser constituído dos mesmos fatores primos de $N$, com expoentes menores ou iguais a $N$.
Logo, qualquer divisor $d$ pode ser escrito como:
$$d = p_1^{b_1} \cdot p_2^{b_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{b_k}
$$
A condição para que $d$ divida $N$ é que para cada fator primo $p_i$, o novo expoente $b_i$ deve satisfazer a relação:
$$0 \leq b_i \leq a_i
$$
O problema de encontrar a quantidade de divisores se transforma em um problema de contagem: De quantas maneiras diferentes podemos escolher os expoentes $b_1$, $b_2$, $\ldots$, $b_k$?
Para o fator primo $p_1$, o expoente $b_1$ pode ser:
$$0,1,2,\ldots , a_1
$$
Isso nos fornece um total de $(a_1 + 1)$ opções para a potência de $p_1$ (isso porque também consideramos a potência 0).
Para o fator primo $p_2$, o expoente $b_2$ pode ser:
$$0,1,3, \ldots , a_2
$$
Isso nos fornece um total de $(a_2 + 1)$ opções para a potência de $p_2$.
Para os demais fatores primos, seguimos o mesmo raciocínio, de modo que, para o último fator primo $p_k$, este terá $(a_k + 1)$ opções de expoentes.
Como a escolha do expoente para cada fator primo é independente das escolhas dos outros fatores, o número total de divisores é o produto do número de opções para cada fator. Este é o Princípio Multiplicativo da Contagem, que é um método para determinar o número total de resultados possíveis de uma sequência de eventos, multiplicando o número de opções em cada etapa.
Desta forma, a quantidade de divisores de um número $N$ é dada pelo produto dos expoentes de sua fatoração em número primos, cada um somado a 1:
$$d = (a_1+1) (a_2+1) (a_3+1) \ldots (a_k+1)
$$
Exemplo 1:
Dado o número 240, vamos determinar a quantidade de divisores que ele possui.
Iniciamos fatorando o número 240:
$$\begin{array}{r|c}
240 & 2 \\
120 & 2 \\
60 & 2 \\
30 & 2 \\
15 & 3 \\
5 & 5 \\
1 &
\end{array}
$$
Assim, a forma fatorada de 240 é:
$$240 = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^1
$$
Vamos identificar os expoentes:
- $a_1 = 4$ (para o primo 2)
- $a_2 = 1$ (para o primo 3)
- $a_3 = 1$ (para o primo 5)
Aplicando na fórmula:
$$d(240) = (4+1)(1+1)(1+1)\\
d(240) = 5 \cdot 2 \cdot 2\\
d(240) = 20
$$
Portanto, o número 240 possui 20 divisores positivos.
Cada divisor de 240 possui a forma:
$$2^{a_1} \cdot 3^{a_2} \cdot 5^{a_3}
$$
Sendo:
\begin{cases}0 \leq a_1 \leq 4 \\
\ \\
0 \leq a_2 \leq 1 \\
\ \\
0 \leq a_3 \leq 1 \\
\end{cases}
Assim, podemos montar a tabela:
\begin{array}{|c|}\hline
\ \ \ \ \ \textbf{Divisores de 240}\ \ \ \ \ \\
\hline
2^0 \cdot 3^0 \cdot 5^0 = 1\\
\hline
2^0 \cdot 3^0 \cdot 5^1 = 5\\
\hline
2^0 \cdot 3^1 \cdot 5^0 = 3\\
\hline
2^0 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 15\\
\hline
2^1 \cdot 3^0 \cdot 5^0 = 2\\
\hline
2^1 \cdot 3^0 \cdot 5^1 = 10\\
\hline
2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^0 = 6\\
\hline
2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 30\\
\hline
2^2 \cdot 3^0 \cdot 5^0 = 4\\
\hline
2^2 \cdot 3^0 \cdot 5^1 = 20\\
\hline
2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^0 = 12\\
\hline
2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 60\\
\hline
2^3 \cdot 3^0 \cdot 5^0 = 8\\
\hline
2^3 \cdot 3^0 \cdot 5^1 = 40\\
\hline
2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^0 = 24\\
\hline
2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 120\\
\hline
2^4 \cdot 3^0 \cdot 5^0 = 16\\
\hline
2^4 \cdot 3^0 \cdot 5^1 = 80\\
\hline
2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^0 = 48\\
\hline
2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 240\\
\hline
\end{array}
Assim, os divisores de 240 são:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240
Cada combinação distinta de expoentes gera um divisor distinto, totalizando 20 divisores.
Exemplo 2:
Dado o número 36, vamos determinar a quantidade de divisores que ele possui:
Iniciamos fatorando o número 36:
$$\begin{array}{r|c}
36 & 2 \\
18 & 2 \\
9 & 3 \\
3 & 3 \\
1 & \\
\end{array}
$$
Assim, a forma fatorada de 36 é:
$$36 = 2^2 \cdot 3^2
$$
Vamos identificar os expoentes:
- $a_1 = 2$ (para o primo 2)
- $a_2 = 2$ (para o primo 3)
Aplicando na fórmula:
$$d(36) = (2+1)(2+1)\\
d(36) = 3 \cdot 3 \cdot 2\\
d(36) =9
$$
Portanto, o número 36 possui 9 divisores positivos.
Cada divisor de 36 possui a forma:
$$2^{a_1} \cdot 3^{a_2}
$$
Sendo:
\begin{cases}0 \leq a_1 \leq 2 \\
\ \\
0 \leq a_2 \leq 2 \\
\end{cases}
Assim, podemos montar a tabela:
\begin{array}{|c|}\hline
\ \ \ \ \ \textbf{Divisores de 36}\ \ \ \ \ \\
\hline
2^0 \cdot 3^0 = 1\\
\hline
2^0 \cdot 3^1 = 3\\
\hline
2^0 \cdot 3^2 = 9\\
\hline
2^1 \cdot 3^0 = 2\\
\hline
2^1 \cdot 3^1 = 6\\
\hline
2^1 \cdot 3^2 = 18\\
\hline
2^2 \cdot 3^0 = 4\\
\hline
2^2 \cdot 3^1 = 12\\
\hline
2^2 \cdot 3^2 = 36\\
\hline
\end{array}
Assim, os divisores de 36 são:
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Cada combinação distinta de expoentes gera um divisor distinto, totalizando 9 divisores.
Exemplo 3:
Dado o número 1155, vamos determinar a quantidade de divisores que ele possui:
Iniciamos fatorando o número 1155:
$$\begin{array}{r|c}
1155 & 3 \\
385 & 5 \\
77 & 7 \\
11 & 11 \\
1 & \\
\end{array}
$$
Assim, a forma fatorada de 1155 é:
$$1155 = 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 11^1
$$
Vamos identificar os expoentes:
- $a_1 = 1$ (para o primo 3)
- $a_2 = 1$ (para o primo 5)
- $a_3 = 1$ (para o primo 7)
- $a_4 = 1$ (para o primo 11)
Aplicando na fórmula:
$$d(1155) = (1+1)(1+1)(1+1)(1+1)\\
d(1155) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\\
d(1155) = 16
$$
Portanto, o número 1155 possui 16 divisores positivos.
Cada divisor de 1155 possui a forma:
$$3^{a_1} \cdot 5^{a_2} \cdot 7^{a_3} \cdot 11^{a_4}
$$
Sendo:
\begin{cases}0 \leq a_1 \leq 1 \\
\ \\
0 \leq a_2 \leq 1 \\
\ \\
0 \leq a_3 \leq 1 \\
\ \\
0 \leq a_4 \leq 1 \\
\end{cases}
Assim, podemos montar a tabela:
\begin{array}{|c|}\hline
\ \ \ \ \ \textbf{Divisores de 1155}\ \ \ \ \ \\
\hline
3^0 \cdot 5^0 \cdot 7^0 \cdot 11^0 = 1\\
\hline
3^0 \cdot 5^0 \cdot 7^0 \cdot 11^1 = 11\\
\hline
3^0 \cdot 5^0 \cdot 7^1 \cdot 11^0 = 7\\
\hline
3^0 \cdot 5^0 \cdot 7^1 \cdot 11^1 = 77\\
\hline
3^0 \cdot 5^1 \cdot 7^0 \cdot 11^0 = 5\\
\hline
3^0 \cdot 5^1 \cdot 7^0 \cdot 11^1 = 55\\
\hline
3^0 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 11^0 = 35\\
\hline
3^0 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 11^1 = 385\\
\hline
3^1 \cdot 5^0 \cdot 7^0 \cdot 11^0 = 3\\
\hline
3^1 \cdot 5^0 \cdot 7^0 \cdot 11^1 = 33\\
\hline
3^1 \cdot 5^0 \cdot 7^1 \cdot 11^0 = 21\\
\hline
3^1 \cdot 5^0 \cdot 7^1 \cdot 11^1 = 231\\
\hline
3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^0 \cdot 11^0 = 15\\
\hline
3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^0 \cdot 11^1 = 165\\
\hline
3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 11^0 = 105\\
\hline
3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 11^1 = 1155\\
\hline
\end{array}
Assim, os divisores de 1155 são:
1, 3, 5, 7, 11, 15, 21, 33, 35, 55, 77, 105, 165, 231, 385, 1155
Cada combinação distinta de expoentes gera um divisor distinto, totalizando 16 divisores.
Exemplo 4:
Dado o número 1440, vamos determinar a quantidade de divisores que ele possui:
Iniciamos fatorando o número 1440:
$$\begin{array}{r|c}
1440 & 2 \\
720 & 2 \\
360 & 2 \\
180 & 2 \\
90 & 2 \\
45 & 3 \\
15 & 3 \\
5 & 5 \\
1 & \\
\end{array}
$$
Assim, a forma fatorada de 1440 é:
$$1440 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^1
$$
Vamos identificar os expoentes:
- $a_1 = 5$ (para o primo 2)
- $a_2 = 2$ (para o primo 3)
- $a_3 = 1$ (para o primo 5)
Aplicando na fórmula:
$$d(1440) = (5+1)(2+1)(1+1)\\
d(1440) = 6 \cdot 3 \cdot 2\\
d(1440) = 36
$$
Portanto, o número 1440 possui 36 divisores positivos.
Cada divisor de 1440 possui a forma:
$$2^{a_1} \cdot 3^{a_2} \cdot 5^{a_3}
$$
Sendo:
\begin{cases}0 \leq a_1 \leq 5 \\
\ \\
0 \leq a_2 \leq 2 \\
\ \\
0 \leq a_3 \leq 1 \\
\end{cases}
Não irei fazer a tabela aqui porque é muito longa, mas podemos escrever os divisores de 1440:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, 90, 96, 120, 144, 160, 180, 240, 288, 360, 480, 720, 1440
Cada combinação distinta de expoentes gera um divisor distinto, totalizando 36 divisores.
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